Eine Vermutung, alle Räume zu kontrollieren Wissenschaft

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Die Kontrolltheorie Es ist eines dieser Dinge im Leben, die in der Theorie einfach und in der Praxis schwierig sind. Zum Beispiel Kontrolle Ein Roller, auch auf einer glatten Strecke, ist für jemanden, der kein Training hat, kompliziert. Die theoretische Grundlage ist jedoch leicht zu erklären: das System, das die Adresse Die Bewegung des Scooters (sehr subtiles Kippen des Körpers nach rechts und links und Schwingen mit einem Fuß) ermöglicht begrenzte Bewegungen: Sie können den Scooter nicht in einer Richtung senkrecht zu der seiner Bewegung bewegen. Das Gute ist, dass wir trotz dieser Einschränkung von jedem Punkt auf der Strecke zu einem anderen wechseln können. Es ist das, was in der Mathematik a genannt wird steuerbares System.

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Roller-Koordinatensystem. Detail einer zulässigen Flugbahn.
Roller-Koordinatensystem. Detail einer zulässigen Flugbahn.

Um ein System mathematisch zu beschreiben, wird Geometrie verwendet. Der Roller wird durch drei Koordinaten gegeben: die Position (x,und) in der Ebene und dem Winkel seiner Achse, den wir nennen z. Bewegen Sie den Scooter vom Punkt (0, 1, 45) bis (0,0,0). Dies entspricht einer Anfangsposition (0,1), in der der Scooter einen Winkel von 45 Grad bildet, und lassen Sie ihn horizontal und einen Meter vertikal sinken . Es ist möglich, auf einem Weg fortzufahren, der diese beiden Punkte verbindet und Sie nicht zum Krankenhaus führt, das wir nennen werden zulässige Kurve. Idealerweise könnten wir uns in unserem Raum entlang der geraden Linie bewegen, die die beiden Punkte in den drei Räumen verbindet, aber dies ist normalerweise nicht der Fall. Wenn wir im vorherigen Beispiel der geraden Linie folgen, bewegen wir den Roller in eine Richtung, die mit den Rädern 45 Grad bildet, und das ist keine gute Idee.

Im Allgemeinen kann für jeden Punkt (x, y, z) der Strecke gibt es nur einige Flugbahnen (x (t), y (t), z (t)) – da zeitabhängig – zulässig. Könnten wir wissen, was sie sind? Wenn wir ein wenig nachdenken, sehen wir, dass der Schlüssel darin besteht, dass sie der Richtung der Räder folgen, was mathematisch wie folgt übersetzt wird: Die Pfade, deren Tangente an die Kurvenposition am Punkt wert ist (x (t), y (t)) muss einen Winkel bilden z (t).

Satz zulässiger Adressen für das Rollersystem in den drei Feldern
Satz zulässiger Adressen für das Rollersystem in den drei Feldern

Betrachten wir einen Raum, der durch alle Kurven gebildet wird, die durch einen Punkt verlaufen (x, y, z) sind diese zulässigen Kurven eine Teilmenge, definiert als diejenigen, die eine bestimmte Ebene tangieren. Da die zulässige Tangentialebene vom Punkt abhängt, können wir immer zulässige Kurven finden, die Paare von beliebigen Punkten verbinden: Wir können sagen, dass das geometrische Steuerungssystem steuerbar ist.

Das Beispiel des Rollers zeigt, dass es im dreidimensionalen Raum immer möglich ist, ein steuerbares System aufzubauen. Aber können wir dasselbe in Räumen von allgemeiner Form und Dimension behaupten? Dank einer Verzweigung der Geometrie genannt symmetrische Topologie Wir wissen, dass die Systeme mehr steuerbar – angerufen Kontaktstrukturen– kann nur in Räumen ungerader Dimension definiert werden.

Betrachten wir einen Raum, der durch alle Kurven gebildet wird, die durch einen Punkt verlaufen (x, y, z) sind diese zulässigen Kurven eine Teilmenge, definiert als diejenigen, die eine bestimmte Ebene tangieren

Mitte des zwanzigsten Jahrhunderts vermutete der chinesisch-amerikanische Shiing-Shen Chern, der als einer der wichtigsten Mathematiker des zwanzigsten Jahrhunderts und Vater der modernen Differentialgeometrie gilt, dass in fast alle Räume ungerader Dimension existieren Kontaktstrukturen; das heißt, wir können schaffen ein Roller Das bringt uns überall hin.

Die Demonstration verzögerte sich um mehr als 50 Jahre und viele Mathematiker wirkten sich auf ihre Erfolge aus – darunter William Thurston, der 1982 die Fields-Medaille gewann, und Mikhail Gromov, Abel-Preis 2009. Im Jahr 2015 hat die ICMAT-Gruppe für Kontaktgeometrie den letzten Schritt unternommen, um zu der allgemeinen Antwort zu gelangen: Sie hat den Fall von Räumen der Dimension 5 getestet – die Übergänge von 3 nach 5 haben sich als die kompliziertesten herausgestellt. Darüber hinaus haben sie 2019 den allgemeinen Test in sehr einfachen Worten erklärt.

Mit dieser Demonstration können Sie bereits garantieren, dass es Roller gibt überschaubar in jedem Raum Natürlich kümmert sich sein Fahrer "intelligent" bereits und auf jeden Fall mit Hilfe eines anderen Zweigs der Mathematik: der Optimierungstheorie.

Francisco Presas ist leitender Wissenschaftler am CSIC im ICMAT

Kaffee und Theoreme Es ist eine Sektion, die sich der Mathematik und dem Umfeld widmet, in dem sie erstellt werden. Sie wird vom Institut für Mathematische Wissenschaften (ICMAT) koordiniert. Forscher und Mitglieder des Zentrums beschreiben die neuesten Fortschritte in dieser Disziplin und tauschen Treffpunkte zwischen Mathematik und andere soziale und kulturelle Ausdrücke und erinnern Sie sich an diejenigen, die ihre Entwicklung kennzeichneten und wussten, wie man Kaffee in Theoreme umwandelt. Der Name erinnert an die Definition des ungarischen Mathematikers Alfred Rényi: "Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt."

Redaktion und Koordination: Timonachat (ICMAT).

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