In Unendlich haben Linien und Quadrate die gleiche Anzahl von Punkten

In früheren Beiträgen haben wir festgestellt, dass zwei Mengen gleich groß sind, wenn es eine Eins-zu-Eins-Übereinstimmung zwischen den Elementen beider Mengen gibt. Die Anwendung dieses Prinzips auf Cantors Unendlichkeitstheorie führt uns zu der seltsamen, aber gültigen Schlussfolgerung, dass die Anzahl der Punkte auf einer Strecke gleich der Anzahl der Punkte in einem Quadrat ist. Um zu zeigen, dass dies wahr ist, ist hier ein Bild eines Liniensegments mit Einheitslänge und eines Einheitsquadrats.

Wählen wir einen Punkt auf dem Liniensegment. Sagen wir 0,6917381276543… . Es wird mit einem großen blauen Punkt auf dem Liniensegment auf der linken Seite angezeigt. Entspricht dieser Punkt einer irrationale Zahl, es geht ewig weiter, ohne sich zu wiederholen oder ein erkennbares Muster zu zeigen.

Wir werden diese Zahl in zwei Zahlen aufteilen. Die erste Zahl ist jede zweite Ziffer. Unterhalb des Liniensegments ist diese Zahl rot dargestellt, nämlich 0,6131753… . Die restlichen Ziffern bilden die zweite Zahl, die grün dargestellt wird. Es ist 0,978264… .

Eine einzelne Zahl zwischen Null und Eins kann also in zwei Zahlen zwischen Null und Eins zerlegt werden. Wir können diese beiden Zahlen und als x- und y-Koordinaten auf dem rechts gezeigten Einheitsquadrat nehmen. Sie definieren den blauen Punkt, der rechts im Quadrat dargestellt ist. Der blaue Punkt auf dem Liniensegment wird also dem blauen Punkt im Quadrat zugeordnet.

Für jeden Punkt auf dem Liniensegment gibt es genau einen blauen Punkt im Quadrat. Die Größe der Mengen der Unendlichkeit auf einem Liniensegment und in einem Quadrat sind genau gleich. Eine Erweiterung dieses Arguments zeigt, dass die Anzahl der Punkte in einem Würfel dieselbe ist wie die Anzahl der Punkte auf einem Liniensegment. Das ist kontraintuitiv und seltsam.

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Eine Rückwärtsabbildung vom Quadrat zum Liniensegment ist ebenfalls möglich. Nehmen Sie die beiden Koordinaten, die den blauen Punkt im Quadrat definieren, und mischen Sie sie zusammen, um eine Zahl zu erhalten. Zwei Zahlen zwischen Null und Eins können immer zu einer einzigen Zahl zwischen Eins und Null kombiniert werden. Diese neue Zahl ist der Punkt auf dem Liniensegment.

Da es eine Eins-zu-Eins-Abbildung jedes Punktes auf dem Liniensegment zu jedem Punkt im Quadrat gibt, ist die Anzahl der Punkte auf einem Liniensegment gleich der Anzahl der Punkte in einem Quadrat.

Aber können Sie nicht ein Liniensegment und ein Quadrat auf ein Blatt Papier zeichnen und die Zuordnung vornehmen? Ist das nicht eine Illustration der Unendlichkeit in Wirklichkeit? Nein. Es wird davon ausgegangen, dass jeder Punkt mit unendlicher Genauigkeit gemessen wird. Präzision ist in der Realität immer endlich. Die Schlussfolgerung, dass es in der Realität keine Unendlichkeiten gibt, steht also fest.

Dieses kontraintuitive Ergebnis, angetrieben von Cantors Theorie der Unendlichkeiten, ist seltsam. Dennoch ist es eine gültige Eigenschaft des Unendlichen.

Nächste: Wir werden zeigen, dass die gesamte Library of Congress auf fast jeder zufällig gewählten Zahl digital kodiert ist.


Hier ist Teil 1: Warum unendlich gibt es in Wirklichkeit nicht. Einige Beispiele zeigen die absurden Ergebnisse, die sich ergeben, wenn man annimmt, dass es in der Welt um uns herum Unendlichkeit gibt, wie es in der Mathematik der Fall ist. In einer Serie von fünf Beiträgen erkläre ich den Unterschied zwischen dem, was Unendlichkeit als Konzept bedeutet – und was nicht.

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Teil 2. Unendlichkeit veranschaulicht, dass das Universum hat einen Anfang. Die logischen Konsequenzen einer buchstäblich unendlichen Vergangenheit sind absurd, wie eine einfache Illustration zeigen wird. Die Absurditäten, die eine unendlich vergangene Zeit hervorbringen würde, sind zwar kein endgültiger mathematischer Beweis, aber ein solider Beweis dafür, dass unser Universum einen Anfang hatte.

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